导数

常用导数

未分类

$(kx)'=k$

$\left(\dfrac{x^{\mu+1}}{\mu+1}\right)'=x^\mu,\;\mu\neq-1$

$(\ln{\mid x\mid})'=\dfrac{1}{x}$

$\left(\dfrac{a^x}{\ln a}\right)'=a^x$

常数的求导法则

$\text{常数}'=0$

幂函数的求导法则

$(x^\mu)'=\mu x^{\mu - 1}$

三角函数的求导法则

$(\sin x)' = \cos x$

$(\cos x)' = -\sin x$， $(-\cos x)' = \sin x$

$(\tan x)' = (\sec x)^2 = \dfrac{1}{(\cos x)^2}$， $(\cot x)' = -(\csc x)^2$， $(-\cot x)' = (\csc x)^2=\dfrac{1}{(\sin x)^2}$

$(\sec x)' = \sec x \tan x$， $(\csc x)' = -\csc x \cot x$， $(-\csc x)' = \csc x \cot x$

指数函数的求导法则

$(a^x)'=a^x\ln a, (a>0, a \neq 1)$

$(e^x)' = e^x$

对数函数的求导法则

$(\log_ax)'=\dfrac{1}{x \ln a}, (a>0, a \neq 1)$

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$

反三角函数的求导法则

$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$

$(\mathrm{arccot}\,x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}$

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导数的定义

函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的导数： $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

导数的几何意义：函数图像 在 该点 的 切线

现在给定 $x$ 和 $h$，要求蓝线的斜率， 蓝线的斜率 是这个 直角三角形 的 高 除以 底边长

现在考虑以下的极限过程： $x+h$ 慢慢向 $x$ 逼近，也就是 $h$ 慢慢向 $0$ 逼近，这条蓝线的斜率就会慢慢接近切线斜率，也就是 $x$ 处的导数。

随着 $h$ 慢慢趋近 $0$，蓝线会越来越接近切线。

这条蓝色线称作割线。

导数定义的整体思路是：用割线逼近切线。

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积分式求导

$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{\text{常数}}^{x}f(t)\mathrm dt=f(x)$

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函数 和，差，积，商 求导

$(f\pm g)'=f'\pm g'$

$(fg)'=f'g+fg'$

$(\dfrac{f}{g})'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$

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链式法则

$\dfrac{\mathrm d A}{\mathrm{d}B}=\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}C}·\dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}B}$